rust的学习笔记

电气化、自动化、数字化、智能化、智慧化

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求解偏微分方程开源有限元软件deal.II学习--Step 7

引子

在本例中,将会着眼于以下两方面:

  1. 验证程序的正确性,生成收敛性统计表格;
  2. 对于Helmholtz方程施加非齐次Neumann边界条件。

另外还有一些小的优化点。

验证程序正确性

也许从来不会有任何一个有限元程序一开始就是正确的,所以找到方法来验证计算的解是否正确就很有必要。通常选择已知精确解析解,并且比较精确解析解和计算离散解两者之间差别来求证。如果随着误差次数提高,两者之间差别逐渐趋于0,就说明程序的正确性。deal.II中就提供了这样一个函数:VectorTools::integrate_difference(),它提供了很多种范数的计算:

这些公式也适用于矢量函数。就像其他的积分一样,我们也需要用数值积分公式来计算这些范数,那么合适的积分公式对这些误差的计算就很重要,特别是对$L_\infty$范数,因为需要在积分点上计算数值解和精确解的最大差别。该函数计算每个单元上的范数,然后返回一个vector存储每个单元上的这些值,从局部的范数,可以得到全局范数,如全局$L_2$范数为:

在本例中,将会展示怎样计算和使用这些量,同时监控随着网格细化其怎样变化。同时还将展示从得到的数据生成漂亮的表格,来自动计算收敛速率,而且将比较不同策略的网格细化。

非齐次Neumann边界条件

非齐次边界条件,即包括边界值及其梯度的条件,它们存在于边界积分中,然后计算时需要被组装进右端项中。具体到本例来说,要求解的方程是Holmholtz方程:

计算域是$[-1,1]^2$。边界条件分两部分,在整体边界$\Gamma$的$\Gamma_1$部分:

在剩下的$\Gamma_2$部分:

具体边界划分为:$\Gamma_1=\Gamma \cap ((x=1) \cup (y=1))$。
根据Method of Manufactured Solutions,得到本例的精确解为:

其中:$ x_1=(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}),x_2=(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}),x_3=(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}),\sigma=\frac{1}{8}$
弱形式为:

其中,边界积分项$(g_2,v)_{\Gamma_2}$已经考虑了在$\Gamma_1$上$v=0$。
离散后单元上的矩阵和向量的形式为:

对于区域积分,之前已经有了很多介绍,就是用FEValues类来给出单元上的形函数的值及其梯度,以及Jacobian行列式及积分点等。而相对应地,对于边界上曲线积分,用FEFaceValues来做以上工作,只不过它的维度比domain要小1。

一个良好的编程习惯

一个良好的编程习惯就是使用命名空间,这样可以有效地预防命名冲突。格式为:

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... #includes
namespace Step7
{
using namespace dealii;
...everything to do with the program...
}
int main ()
{
...do whatever main() does...
}

程序解析

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#include <deal.II/base/quadrature_lib.h>
#include <deal.II/base/function.h>
#include <deal.II/base/logstream.h>
#include <deal.II/lac/vector.h>
#include <deal.II/lac/full_matrix.h>
#include <deal.II/lac/sparse_matrix.h>
#include <deal.II/lac/dynamic_sparsity_pattern.h>
#include <deal.II/lac/solver_cg.h>
#include <deal.II/lac/precondition.h>
#include <deal.II/lac/constraint_matrix.h>
#include <deal.II/grid/tria.h>
#include <deal.II/grid/grid_generator.h>
#include <deal.II/grid/grid_refinement.h>
#include <deal.II/grid/tria_accessor.h>
#include <deal.II/grid/tria_iterator.h>
#include <deal.II/dofs/dof_handler.h>
#include <deal.II/dofs/dof_accessor.h>
#include <deal.II/dofs/dof_tools.h>
#include <deal.II/fe/fe_q.h>
#include <deal.II/numerics/matrix_tools.h>
#include <deal.II/numerics/error_estimator.h>
#include <deal.II/numerics/data_out.h>

以上头文件不解释。

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#include <deal.II/dofs/dof_renumbering.h>

这里使用Cuthill-McKee算法对自由度重新排号。
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#include <deal.II/base/smartpointer.h>

以上头文件保证对象在被使用时不被删除。
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#include <deal.II/numerics/vector_tools.h>
#include <deal.II/base/convergence_table.h>

第一个头文件包含了VectorTools::integrate_difference()函数,第二个则是生成表格用。
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#include <deal.II/fe/fe_values.h>

还要使用FEValues类。
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#include <typeinfo>
#include <fstream>
#include <iostream>

下面开启step7命名空间,同时引入dealii空间:
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namespace Step7
{
using namespace dealii;

首先创建一个类来存储精确解,这里把它作成一个基类,是为了以后跟右端项分享一些相同的特征(因为此例中右端项就是解的组合):
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template <int dim>
class SolutionBase
{
protected:
static const unsigned int n_source_centers = 3;
static const Point<dim> source_centers[n_source_centers];
static const double width;
};

其特征包括三项:指数项的个数及其中心及其半宽度。此类与维度无关,先看它怎样对一维实现:
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template <>
const Point<1>
SolutionBase<1>::source_centers[SolutionBase<1>::n_source_centers]
= { Point<1>(-1.0 / 3.0),
Point<1>(0.0),
Point<1>(+1.0 / 3.0)
};

这里涉及模板显式特化语法。
二维是:
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template <>
const Point<2>
SolutionBase<2>::source_centers[SolutionBase<2>::n_source_centers]
= { Point<2>(-0.5, +0.5),
Point<2>(-0.5, -0.5),
Point<2>(+0.5, -0.5)
};

然后设定半宽度:
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template <int dim>
const double SolutionBase<dim>::width = 1./8.;

在声明和定义了右端项和解的特征以后,就需要真正声明这两个类了。它们都代表了连续函数,因此继承自Function基类,同时也继承上面的SolutionBase类。
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template <int dim>
class Solution : public Function<dim>,
protected SolutionBase<dim>
{
public:
Solution () : Function<dim>() {}
virtual double value (const Point<dim> &p,
const unsigned int component = 0) const;
virtual Tensor<1,dim> gradient (const Point<dim> &p,
const unsigned int component = 0) const;
};

注意:为了计算离散解和连续解的误差,就必须提供精确解的值和梯度。Function类提供了关于值和梯度的虚函数,所以要做的就是对相应的虚函数进行重载。再次注意:在dim维空间的函数,它的梯度是具有dim维的一阶张量,如上所示。
值和梯度的计算如下:
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template <int dim>
double Solution<dim>::value (const Point<dim> &p,
const unsigned int) const
{
double return_value = 0;
for (unsigned int i=0; i<this->n_source_centers; ++i)
{
const Tensor<1,dim> x_minus_xi = p - this->source_centers[i];
return_value += std::exp(-x_minus_xi.norm_square() /
(this->width * this->width));
}
return return_value;
}
template <int dim>
Tensor<1,dim> Solution<dim>::gradient (const Point<dim> &p,
const unsigned int) const
{
Tensor<1,dim> return_value;
for (unsigned int i=0; i<this->n_source_centers; ++i)
{
const Tensor<1,dim> x_minus_xi = p - this->source_centers[i];

return_value += (-2 / (this->width * this->width) *
std::exp(-x_minus_xi.norm_square() /
(this->width * this->width)) *
x_minus_xi);
}
return return_value;
}

除了精确解,还需要一个右端项函数来组装离散方程的线性系统:
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template <int dim>
class RightHandSide : public Function<dim>,
protected SolutionBase<dim>
{
public:
RightHandSide () : Function<dim>() {}
virtual double value (const Point<dim> &p,
const unsigned int component = 0) const;
};
template <int dim>
double RightHandSide<dim>::value (const Point<dim> &p,
const unsigned int) const
{
double return_value = 0;
for (unsigned int i=0; i<this->n_source_centers; ++i)
{
const Tensor<1,dim> x_minus_xi = p - this->source_centers[i];
return_value += ((2*dim - 4*x_minus_xi.norm_square()/
(this->width * this->width)) /
(this->width * this->width) *
std::exp(-x_minus_xi.norm_square() /
(this->width * this->width)));
return_value += std::exp(-x_minus_xi.norm_square() /
(this->width * this->width));
}
return return_value;
}

这里只用到它的值,用不着计算梯度。具体计算时解是由两部分构成:解的负laplace项和解本身。
然后就是求解这个问题的类了。它的界面跟之前的例子大体相同,但是有以下几点不同:
(1)用于不同的有限单元;(2)既可以自适应细化,也可以全局细化,具体怎样细化是在构造函数中判断。同时还有分析各种误差的
函数。
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template <int dim>
class HelmholtzProblem
{
public:
enum RefinementMode
{
global_refinement, adaptive_refinement
};
HelmholtzProblem (const FiniteElement<dim> &fe,
const RefinementMode refinement_mode);
~HelmholtzProblem ();
void run ();
private:
void setup_system ();
void assemble_system ();
void solve ();
void refine_grid ();
void process_solution (const unsigned int cycle);

下面是类的成员变量:
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Triangulation<dim> triangulation;
DoFHandler<dim> dof_handler;
SmartPointer<const FiniteElement<dim> > fe;
ConstraintMatrix hanging_node_constraints;
SparsityPattern sparsity_pattern;
SparseMatrix<double> system_matrix;
Vector<double> solution;
Vector<double> system_rhs;

其中比较特殊的是有限单元对象fe。从上面的类的构造函数可以看出,fe是传给它作为参数的。
考虑在所有程序中都会出现的情况:我们有一个triangulation对象,也有一个fe对象,当然也有一个同时使用它俩的DoFHandler对象。明显这三个对象的寿命要比其他对象要长。但问题是:我们能保证triangulation和fe的寿命足够长来供DoFHandler使用吗?这意味着DoFHandler要对这两者施加某些锁,只有在它已经清除了所有对这两者的使用后才能释放这些锁。正如step6所示,如果违反,则有异常抛出。
我们将要展示库是怎样找到是否还有对对象的使用的。过程大体是这样的:所有可能置于这些有潜在危险指针之下的对象都派生自Subscriptor类,比如Triangulation类、DoFHandler类、FiniteElement类。这个类不提供很多功能,但它有一个内置的计数器。一旦我们初始化一个指向该对象的指针,该计数器就加1,当移除指针或不再需要它时,就减1,这样就能检查还有多少对象仍然使用该对象。
另一方面,如果一个派生自Subscriptor类的类的对象销毁了,它也必须调用Subscriptor的析构函数。在这个析构函数中,也将检查那个计数器是否为0,如果是,那么就没有对该对象的引用,那么我们就可以安全地销毁它,否则,就会产生危险的指针,库就抛出一个异常来提醒程序员检查代码。
上面一切听起来都挺美好,但在使用上有一些问题:万一我忘了对计数器加1怎么办?万一我又忘了减1呢?这在调试程序时会很麻烦。解决这个问题的方法是使用C++的一个特性:SmartPointer智能指针。我们创建的类的对象让它就像一个指针一样。正如上面程序中fe的定义一样。
还有一个变量是存储细化方式,是一个枚举常量:
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const RefinementMode refinement_mode;

另一个变量是收敛性表格:
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ConvergenceTable convergence_table;
};

类的构造函数:
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template <int dim>
HelmholtzProblem<dim>::HelmholtzProblem (const FiniteElement<dim> &fe,
const RefinementMode refinement_mode) :
dof_handler (triangulation),
fe (&fe),
refinement_mode (refinement_mode)
{}

类的析构函数:
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template <int dim>
HelmholtzProblem<dim>::~HelmholtzProblem ()
{
dof_handler.clear ();
}

建立系统:
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template <int dim>
void HelmholtzProblem<dim>::setup_system ()
{
dof_handler.distribute_dofs (*fe);
DoFRenumbering::Cuthill_McKee (dof_handler);
hanging_node_constraints.clear ();
DoFTools::make_hanging_node_constraints (dof_handler,
hanging_node_constraints);
hanging_node_constraints.close ();
DynamicSparsityPattern dsp (dof_handler.n_dofs(), dof_handler.n_dofs());
DoFTools::make_sparsity_pattern (dof_handler, dsp);
hanging_node_constraints.condense (dsp);
sparsity_pattern.copy_from (dsp);
system_matrix.reinit (sparsity_pattern);
solution.reinit (dof_handler.n_dofs());
system_rhs.reinit (dof_handler.n_dofs());
}

这里使用了算法对自由度序号重排,同时又有悬点问题,所以注意上面代码的顺序。
组装系统:
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template <int dim>
void HelmholtzProblem<dim>::assemble_system ()
{
QGauss<dim> quadrature_formula(3);
QGauss<dim-1> face_quadrature_formula(3);
const unsigned int n_q_points = quadrature_formula.size();
const unsigned int n_face_q_points = face_quadrature_formula.size();
const unsigned int dofs_per_cell = fe->dofs_per_cell;
FullMatrix<double> cell_matrix (dofs_per_cell, dofs_per_cell);
Vector<double> cell_rhs (dofs_per_cell);
std::vector<types::global_dof_index> local_dof_indices (dofs_per_cell);

跟之前不同的是,因为需要计算边界积分,所以需要声明边界积分公式。
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FEValues<dim> fe_values (*fe, quadrature_formula,
update_values | update_gradients |
update_quadrature_points | update_JxW_values);
FEFaceValues<dim> fe_face_values (*fe, face_quadrature_formula,
update_values | update_quadrature_points |
update_normal_vectors | update_JxW_values);

然后是计算积分点上形函数的值、梯度,这些量需要在单元内部和边界上都得计算,两者有一个很大的差别,即单元内部的积分的权重需要测量单元,而边界积分需要在更低维度的流形上测量边界,无论如何,两者的界面是差不多的。注意:内部积分用的是FEValues类,这里需要计算积分点上的值、梯度、权重等,而边界积分用的是FEFaceValues,计算的是积分点上的形函数的值、权重,因为还要计算Neumann边值,所以还要计算法向量。
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const RightHandSide<dim> right_hand_side;
std::vector<double> rhs_values (n_q_points);
const Solution<dim> exact_solution;

然后是存储右端项和精确解的对象。
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typename DoFHandler<dim>::active_cell_iterator
cell = dof_handler.begin_active(),
endc = dof_handler.end();
for (; cell!=endc; ++cell)
{
cell_matrix = 0;
cell_rhs = 0;
fe_values.reinit (cell);
right_hand_side.value_list (fe_values.get_quadrature_points(),
rhs_values);
for (unsigned int q_point=0; q_point<n_q_points; ++q_point)
for (unsigned int i=0; i<dofs_per_cell; ++i)
{
for (unsigned int j=0; j<dofs_per_cell; ++j)
cell_matrix(i,j) += ((fe_values.shape_grad(i,q_point) *
fe_values.shape_grad(j,q_point)
+
fe_values.shape_value(i,q_point) *
fe_values.shape_value(j,q_point)) *
fe_values.JxW(q_point));
cell_rhs(i) += (fe_values.shape_value(i,q_point) *
rhs_values [q_point] *
fe_values.JxW(q_point));
}

以上是对每个单元的循环,单元刚度矩阵中已经根据Holmholtz方程进行了调整。同时上面的右端项的计算仅仅只包含了一项,下面是右端项的第二部分边界积分:
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for (unsigned int face_number=0; face_number<GeometryInfo<dim>::faces_per_cell; ++face_number)
if (cell->face(face_number)->at_boundary()
&&
(cell->face(face_number)->boundary_id() == 1))
{

首先得找到$\Gamma_2$的边界:
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for (unsigned int face_number=0; face_number<GeometryInfo<dim>::faces_per_cell; ++face_number)
if (cell->face(face_number)->at_boundary()
&&
(cell->face(face_number)->boundary_id() == 1))
{

这里是判断单元的边界的标识是不是1,我们知道边界默认标识是0,而在后面的run函数中将$\Gamma_2$人为指定成1。如果确认是它,那么就计算形函数的值,这通过reinit才实现,跟FEValues一样:
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fe_face_values.reinit (cell, face_number);

然后就是对积分点的循环:
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for (unsigned int q_point=0; q_point<n_face_q_points; ++q_point)
{
const double neumann_value
= (exact_solution.gradient (fe_face_values.quadrature_point(q_point)) *
fe_face_values.normal_vector(q_point));
for (unsigned int i=0; i<dofs_per_cell; ++i)
cell_rhs(i) += (neumann_value *
fe_face_values.shape_value(i,q_point) *
fe_face_values.JxW(q_point));
}
}

其中,法向导数的值是根据精确解的梯度和法向量的乘积计算得到。
然后就是组装系统:
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cell->get_dof_indices (local_dof_indices);
for (unsigned int i=0; i<dofs_per_cell; ++i)
{
for (unsigned int j=0; j<dofs_per_cell; ++j)
system_matrix.add (local_dof_indices[i],
local_dof_indices[j],
cell_matrix(i,j));
system_rhs(local_dof_indices[i]) += cell_rhs(i);
}
}

施加边界条件:
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hanging_node_constraints.condense (system_matrix);
hanging_node_constraints.condense (system_rhs);
std::map<types::global_dof_index,double> boundary_values;
VectorTools::interpolate_boundary_values (dof_handler,
0,
Solution<dim>(),
boundary_values);
MatrixTools::apply_boundary_values (boundary_values,
system_matrix,
solution,
system_rhs);
}

注意:上面的边界中只包含了$\Gamma_1$,这正是我们想要的。
求解:
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template <int dim>
void HelmholtzProblem<dim>::solve ()
{
SolverControl solver_control (1000, 1e-12);
SolverCG<> cg (solver_control);
PreconditionSSOR<> preconditioner;
preconditioner.initialize(system_matrix, 1.2);
cg.solve (system_matrix, solution, system_rhs,
preconditioner);
hanging_node_constraints.distribute (solution);
}

然后就是细化网格。根据传递给构造函数的参数决定是自适应细化还是全局细化。
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template <int dim>
void HelmholtzProblem<dim>::refine_grid ()
{
switch (refinement_mode)
{
case global_refinement:
{
triangulation.refine_global (1);
break;
}
case adaptive_refinement:
{
Vector<float> estimated_error_per_cell (triangulation.n_active_cells());
KellyErrorEstimator<dim>::estimate (dof_handler,
QGauss<dim-1>(3),
typename FunctionMap<dim>::type(),
solution,
estimated_error_per_cell);
GridRefinement::refine_and_coarsen_fixed_number (triangulation,
estimated_error_per_cell,
0.3, 0.03);
triangulation.execute_coarsening_and_refinement ();
break;
}
default:
{
Assert (false, ExcNotImplemented());
}
}
}

细化方案跟之前相同,不多说,注意最后的缺省情形不要忘加。
下一步就是对解的处理:
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template <int dim>
void HelmholtzProblem<dim>::process_solution (const unsigned int cycle)
{
Vector<float> difference_per_cell (triangulation.n_active_cells());
VectorTools::integrate_difference (dof_handler,
solution,
Solution<dim>(),
difference_per_cell,
QGauss<dim>(3),
VectorTools::L2_norm);
const double L2_error = difference_per_cell.l2_norm();

首先是计算误差范数。创建一个Vector来存放每个单元上的误差值。然后计算L2范数,接收的参数是DoFHandler对象、数值解的节点值、精确解、存放每个单元上的误差值的量、计算该范数的积分公式、范数类型。
然后计算H1范数:
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ectorTools::integrate_difference (dof_handler,
solution,
Solution<dim>(),
difference_per_cell,
QGauss<dim>(3),
VectorTools::H1_seminorm);
const double H1_error = difference_per_cell.l2_norm();

然后计算最大范数,当然也是在积分点上的最大范数,不可能是全局最大范数:
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const QTrapez<1> q_trapez;
const QIterated<dim> q_iterated (q_trapez, 5);
VectorTools::integrate_difference (dof_handler,
solution,
Solution<dim>(),
difference_per_cell,
q_iterated,
VectorTools::Linfty_norm);
const double Linfty_error = difference_per_cell.linfty_norm();

然后将所有结果输出到表格中:
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const unsigned int n_active_cells=triangulation.n_active_cells();
const unsigned int n_dofs=dof_handler.n_dofs();
std::cout << "Cycle " << cycle << ':'
<< std::endl
<< " Number of active cells: "
<< n_active_cells
<< std::endl
<< " Number of degrees of freedom: "
<< n_dofs
<< std::endl;
convergence_table.add_value("cycle", cycle);
convergence_table.add_value("cells", n_active_cells);
convergence_table.add_value("dofs", n_dofs);
convergence_table.add_value("L2", L2_error);
convergence_table.add_value("H1", H1_error);
convergence_table.add_value("Linfty", Linfty_error);
}

接下来是run函数,控制程序的运行过程。与之前不同的是,需要先设定好边界标识,这里是根据坐标值来确定。而且是对所有单元循环,不仅仅是活动单元,这是因为细化时子网格会继承父网格的边界标识,如果仅细化活动单元,之前定义的边界就继承不下来。当然也可以在细化之前对最初的粗网格进行标识,然后再细化。
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template <int dim>
void HelmholtzProblem<dim>::run ()
{
const unsigned int n_cycles = (refinement_mode==global_refinement)?5:9;
for (unsigned int cycle=0; cycle<n_cycles; ++cycle)
{
if (cycle == 0)
{
GridGenerator::hyper_cube (triangulation, -1, 1);
triangulation.refine_global (3);
typename Triangulation<dim>::cell_iterator
cell = triangulation.begin (),
endc = triangulation.end();
for (; cell!=endc; ++cell)
for (unsigned int face_number=0;
face_number<GeometryInfo<dim>::faces_per_cell;
++face_number)
if ((std::fabs(cell->face(face_number)->center()(0) - (-1)) < 1e-12)
||
(std::fabs(cell->face(face_number)->center()(1) - (-1)) < 1e-12))
cell->face(face_number)->set_boundary_id (1);
}
else
refine_grid ();
setup_system ();
assemble_system ();
solve ();

process_solution (cycle);
}

在最后一步迭代后,输出最细网格上的解。输出文件根据细化方式、单元类型来命名:
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std::string vtk_filename;
switch (refinement_mode)
{
case global_refinement:
vtk_filename = "solution-global";
break;
case adaptive_refinement:
vtk_filename = "solution-adaptive";
break;
default:
Assert (false, ExcNotImplemented());
}
switch (fe->degree)
{
case 1:
vtk_filename += "-q1";
break;
case 2:
vtk_filename += "-q2";
break;
default:
Assert (false, ExcNotImplemented());
}
vtk_filename += ".vtk";
std::ofstream output (vtk_filename.c_str());
DataOut<dim> data_out;
data_out.attach_dof_handler (dof_handler);
data_out.add_data_vector (solution, "solution");

下面就是建立中间格式的数据。跟以前不同的是,我们这里有时会使用双二次单元。但大多数的输出格式仅支持双线性数据,如果强行转换就会丢失部分数据。当然我们不能改变图像处理程序的输入文件的格式,但可以变着花样写出来。比如把每个单元分成有双线性数据的四个单元。
1
2
data_out.build_patches (fe->degree);
data_out.write_vtk (output);

build_patches接收一个参数,表明每个单元的单个方向上应该划分成几个子单元。
然后是输出误差表格:
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convergence_table.set_precision("L2", 3);
convergence_table.set_precision("H1", 3);
convergence_table.set_precision("Linfty", 3);
convergence_table.set_scientific("L2", true);
convergence_table.set_scientific("H1", true);
convergence_table.set_scientific("Linfty", true);
convergence_table.set_tex_caption("cells", "\\# cells");
convergence_table.set_tex_caption("dofs", "\\# dofs");
convergence_table.set_tex_caption("L2", "L^2-error");
convergence_table.set_tex_caption("H1", "H^1-error");
convergence_table.set_tex_caption("Linfty", "L^\\infty-error");
convergence_table.set_tex_format("cells", "r");
convergence_table.set_tex_format("dofs", "r");
std::cout << std::endl;
convergence_table.write_text(std::cout);
std::string error_filename = "error";
switch (refinement_mode)
{
case global_refinement:
error_filename += "-global";
break;
case adaptive_refinement:
error_filename += "-adaptive";
break;
default:
Assert (false, ExcNotImplemented());
}
switch (fe->degree)
{
case 1:
error_filename += "-q1";
break;
case 2:
error_filename += "-q2";
break;
default:
Assert (false, ExcNotImplemented());
}
error_filename += ".tex";
std::ofstream error_table_file(error_filename.c_str());
convergence_table.write_tex(error_table_file);

这里面包含了输出成TeX的格式。
对于全局细化的话,还可以输出收敛速率:
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if (refinement_mode==global_refinement)
{
convergence_table.add_column_to_supercolumn("cycle", "n cells");
convergence_table.add_column_to_supercolumn("cells", "n cells");
std::vector<std::string> new_order;
new_order.push_back("n cells");
new_order.push_back("H1");
new_order.push_back("L2");
convergence_table.set_column_order (new_order);
convergence_table
.evaluate_convergence_rates("L2", ConvergenceTable::reduction_rate);
convergence_table
.evaluate_convergence_rates("L2", ConvergenceTable::reduction_rate_log2);
convergence_table
.evaluate_convergence_rates("H1", ConvergenceTable::reduction_rate);
convergence_table
.evaluate_convergence_rates("H1", ConvergenceTable::reduction_rate_log2);
std::cout << std::endl;
convergence_table.write_text(std::cout);
std::string conv_filename = "convergence";
switch (refinement_mode)
{
case global_refinement:
conv_filename += "-global";
break;
case adaptive_refinement:
conv_filename += "-adaptive";
break;
default:
Assert (false, ExcNotImplemented());
}
switch (fe->degree)
{
case 1:
conv_filename += "-q1";
break;
case 2:
conv_filename += "-q2";
break;
default:
Assert (false, ExcNotImplemented());
}
conv_filename += ".tex";
std::ofstream table_file(conv_filename.c_str());
convergence_table.write_tex(table_file);
}
}
}

然后就是main函数:
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int main ()
{
const unsigned int dim = 2;
try
{
using namespace dealii;
using namespace Step7;
{
std::cout << "Solving with Q1 elements, adaptive refinement" << std::endl
<< "=============================================" << std::endl
<< std::endl;
FE_Q<dim> fe(1);
HelmholtzProblem<dim>
helmholtz_problem_2d (fe, HelmholtzProblem<dim>::adaptive_refinement);
helmholtz_problem_2d.run ();
std::cout << std::endl;
}
{
std::cout << "Solving with Q1 elements, global refinement" << std::endl
<< "===========================================" << std::endl
<< std::endl;
FE_Q<dim> fe(1);
HelmholtzProblem<dim>
helmholtz_problem_2d (fe, HelmholtzProblem<dim>::global_refinement);
helmholtz_problem_2d.run ();
std::cout << std::endl;
}
{
std::cout << "Solving with Q2 elements, global refinement" << std::endl
<< "===========================================" << std::endl
<< std::endl;
FE_Q<dim> fe(2);
HelmholtzProblem<dim>
helmholtz_problem_2d (fe, HelmholtzProblem<dim>::global_refinement);
helmholtz_problem_2d.run ();
std::cout << std::endl;
}
{
std::cout << "Solving with Q2 elements, adaptive refinement" << std::endl
<< "===========================================" << std::endl
<< std::endl;
FE_Q<dim> fe(2);
HelmholtzProblem<dim>
helmholtz_problem_2d (fe, HelmholtzProblem<dim>::adaptive_refinement);
helmholtz_problem_2d.run ();
std::cout << std::endl;
}
}
catch (std::exception &exc)
{
std::cerr << std::endl << std::endl
<< "----------------------------------------------------"
<< std::endl;
std::cerr << "Exception on processing: " << std::endl
<< exc.what() << std::endl
<< "Aborting!" << std::endl
<< "----------------------------------------------------"
<< std::endl;
return 1;
}
catch (...)
{
std::cerr << std::endl << std::endl
<< "----------------------------------------------------"
<< std::endl;
std::cerr << "Unknown exception!" << std::endl
<< "Aborting!" << std::endl
<< "----------------------------------------------------"
<< std::endl;
return 1;
}
return 0;
}

计算结果

以下是使用双二次单元的自适应计算的结果:

收敛性结果如下:

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136
Solving with Q1 elements, adaptive refinement
=============================================
Cycle 0:
Number of active cells: 64
Number of degrees of freedom: 81
Cycle 1:
Number of active cells: 124
Number of degrees of freedom: 157
Cycle 2:
Number of active cells: 280
Number of degrees of freedom: 341
Cycle 3:
Number of active cells: 577
Number of degrees of freedom: 690
Cycle 4:
Number of active cells: 1099
Number of degrees of freedom: 1264
Cycle 5:
Number of active cells: 2191
Number of degrees of freedom: 2452
Cycle 6:
Number of active cells: 4165
Number of degrees of freedom: 4510
Cycle 7:
Number of active cells: 7915
Number of degrees of freedom: 8440
Cycle 8:
Number of active cells: 15196
Number of degrees of freedom: 15912
cycle cells dofs L2 H1 Linfty
0 64 81 1.576e-01 1.418e+00 2.707e-01
1 124 157 4.285e-02 1.285e+00 1.469e-01
2 280 341 1.593e-02 7.909e-01 8.034e-02
3 577 690 9.359e-03 5.096e-01 2.784e-02
4 1099 1264 2.865e-03 3.038e-01 9.822e-03
5 2191 2452 1.480e-03 2.106e-01 5.679e-03
6 4165 4510 6.907e-04 1.462e-01 2.338e-03
7 7915 8440 4.743e-04 1.055e-01 1.442e-03
8 15196 15912 1.920e-04 7.468e-02 7.259e-04
Solving with Q1 elements, global refinement
===========================================
Cycle 0:
Number of active cells: 64
Number of degrees of freedom: 81
Cycle 1:
Number of active cells: 256
Number of degrees of freedom: 289
Cycle 2:
Number of active cells: 1024
Number of degrees of freedom: 1089
Cycle 3:
Number of active cells: 4096
Number of degrees of freedom: 4225
Cycle 4:
Number of active cells: 16384
Number of degrees of freedom: 16641
cycle cells dofs L2 H1 Linfty
0 64 81 1.576e-01 1.418e+00 2.707e-01
1 256 289 4.280e-02 1.285e+00 1.444e-01
2 1024 1089 1.352e-02 7.556e-01 7.772e-02
3 4096 4225 3.423e-03 3.822e-01 2.332e-02
4 16384 16641 8.586e-04 1.917e-01 6.097e-03
n cells H1 L2
0 64 1.418e+00 - - 1.576e-01 - -
1 256 1.285e+00 1.10 0.14 4.280e-02 3.68 1.88
2 1024 7.556e-01 1.70 0.77 1.352e-02 3.17 1.66
3 4096 3.822e-01 1.98 0.98 3.423e-03 3.95 1.98
4 16384 1.917e-01 1.99 1.00 8.586e-04 3.99 2.00
Solving with Q2 elements, global refinement
===========================================
Cycle 0:
Number of active cells: 64
Number of degrees of freedom: 289
Cycle 1:
Number of active cells: 256
Number of degrees of freedom: 1089
Cycle 2:
Number of active cells: 1024
Number of degrees of freedom: 4225
Cycle 3:
Number of active cells: 4096
Number of degrees of freedom: 16641
Cycle 4:
Number of active cells: 16384
Number of degrees of freedom: 66049
cycle cells dofs L2 H1 Linfty
0 64 289 1.606e-01 1.278e+00 3.029e-01
1 256 1089 7.638e-03 5.248e-01 4.816e-02
2 1024 4225 8.601e-04 1.086e-01 4.827e-03
3 4096 16641 1.107e-04 2.756e-02 7.802e-04
4 16384 66049 1.393e-05 6.915e-03 9.971e-05
n cells H1 L2
0 64 1.278e+00 - - 1.606e-01 - -
1 256 5.248e-01 2.43 1.28 7.638e-03 21.03 4.39
2 1024 1.086e-01 4.83 2.27 8.601e-04 8.88 3.15
3 4096 2.756e-02 3.94 1.98 1.107e-04 7.77 2.96
4 16384 6.915e-03 3.99 1.99 1.393e-05 7.94 2.99
Solving with Q2 elements, adaptive refinement
===========================================
Cycle 0:
Number of active cells: 64
Number of degrees of freedom: 289
Cycle 1:
Number of active cells: 124
Number of degrees of freedom: 577
Cycle 2:
Number of active cells: 289
Number of degrees of freedom: 1353
Cycle 3:
Number of active cells: 547
Number of degrees of freedom: 2531
Cycle 4:
Number of active cells: 1057
Number of degrees of freedom: 4919
Cycle 5:
Number of active cells: 2059
Number of degrees of freedom: 9223
Cycle 6:
Number of active cells: 3913
Number of degrees of freedom: 17887
Cycle 7:
Number of active cells: 7441
Number of degrees of freedom: 33807
Cycle 8:
Number of active cells: 14212
Number of degrees of freedom: 64731
cycle cells dofs L2 H1 Linfty
0 64 289 1.606e-01 1.278e+00 3.029e-01
1 124 577 7.891e-03 5.256e-01 4.852e-02
2 289 1353 1.070e-03 1.155e-01 4.868e-03
3 547 2531 5.962e-04 5.101e-02 1.876e-03
4 1057 4919 1.977e-04 3.094e-02 7.923e-04
5 2059 9223 7.738e-05 1.974e-02 7.270e-04
6 3913 17887 2.925e-05 8.772e-03 1.463e-04
7 7441 33807 1.024e-05 4.121e-03 8.567e-05
8 14212 64731 3.761e-06 2.108e-03 2.167e-05

进一步扩展

更高阶的单元

如果使用更高阶的单元,如Q3、Q4,可能就会触发一些异常,比如文件保存阶段。即使把这些错误修正了,也不能产生理论预测的正确的收敛结果,这是因为积分公式的次数不够,而这是在程序中硬编码的。那么如何动态地选择这个次数呢?

收敛性对比

Q1单元和Q2哪个更好?自适应细化和全局细化哪个更好?
注意:峰的半宽影响自适应或全局细化哪个更好。如果解足够光滑,那么局部细化比全局细化没有优势。